Critério de Kelly: fórmula, exemplo e limites do tamanho de posição

O critério de Kelly calcula uma fração do capital para maximizar o crescimento logarítmico esperado, dadas certas probabilidades e pagamentos. Em termos simples: ele considera como ganhos e perdas se acumulam sobre o saldo. Não busca o maior lucro médio de uma única operação.

A conta não descobre a probabilidade verdadeira nem define quanto você pode perder. Para entendê-la, é preciso separar três coisas: a chance estimada, o preço pago e a parcela do capital exposta.

Fórmula do critério de Kelly: o que cada termo significa

Considere uma posição comprada e integralmente paga, sem venda a descoberto ou alavancagem. Se o resultado for perdedor, ela perde todo o valor arriscado. Nesse modelo:

• p é a probabilidade estimada de ganhar, em decimal.
• b é o lucro líquido por unidade arriscada no resultado vencedor.
• f é a fração do capital atual arriscada na posição.

A fórmula é:

f* = max(0, [b × p − (1 − p)] / b)

A fração ótima maximiza o objetivo do modelo. A função max compara o resultado da conta com zero e usa o maior valor. Se a conta for negativa, a fração fica em zero. Isso significa não entrar nessa posição, não vender a descoberto nem comprar automaticamente o resultado oposto.

A forma acima exige 0 < p < 1, b > 0 e 0 ≤ f < 1. Com dois resultados de chance positiva, arriscar tudo deixa o capital em zero na derrota. O logaritmo de zero não é finito.

Se cada unidade arriscada gera uma unidade de lucro na vitória, temos b = 1. Com p = 0,60:

f* = (1 × 0,60 − 0,40) / 1 = 0,20.

O resultado é 20% do capital nesse modelo, não uma recomendação universal. Com p = 0,50, a fração é zero. Com p = 0,48, a expressão interna dá −0,04; a restrição de não vender a descoberto mantém f* = 0.

Exemplo hipotético: de 1.000 unidades a dois resultados

Suponha um capital de 1.000 unidades monetárias, abreviadas como u. Um contrato paga 1 u. se SIM e zero se NÃO. Seu preço é 0,50 u. por contrato, sem custo adicional. A chance de SIM é estimada em 60%.

Assumimos contratos divisíveis, compra integral ao preço indicado, caixa sem juros e manutenção até a resolução. Não há venda a descoberto ou alavancagem. São condições didáticas, não cotações, taxas ou regras da Macro Markets.

Cada contrato custa 0,50 u. e gera lucro líquido de 0,50 u. se vencer. Logo, o lucro por unidade arriscada é b = 0,50 / 0,50 = 1. A fração calculada é 20%:

1. Desembolso: 1.000 × 0,20 = 200 u.
2. Quantidade: 200 / 0,50 = 400 contratos.
3. Caixa restante: 1.000 − 200 = 800 u.

Se SIM vencer, os contratos pagam 400 u. Somadas às 800 u. em caixa, a riqueza final será 1.200 u. Se NÃO vencer, os contratos pagam zero e restam 800 u.

Esses valores são riqueza final, não lucro. O lucro ou prejuízo será, respectivamente, +200 u. ou −200 u.

Por que não alocar 40% para ganhar mais?

Compare três frações sob as mesmas premissas:

O valor esperado do lucro combina os lucros e prejuízos com suas chances estimadas. Para 20%, a conta é 0,60 × 200 + 0,40 × (−200) = 40 u. Aumentar a exposição para 40% eleva essa média para 80 u.

Kelly avalia outro objetivo: a média do logaritmo da razão entre riqueza final e inicial. Chamaremos essa medida de g. Ela dá peso ao efeito das perdas sobre o capital que sobra.

Com 40%, o lucro esperado isolado é maior, mas g fica negativo. A fração de 20% maximiza g dentro deste modelo. Na operação realizada, porém, ocorre apenas um dos resultados. Você não recebe a média de 40 u. nem um resultado igual a g.

Por que Kelly usa o logaritmo?

O capital se compõe por multiplicação. Um ganho muda a base sobre a qual incide a próxima perda, e vice-versa. O logaritmo transforma essa multiplicação em soma.

O estudo técnico Risk-Constrained Kelly Gambling, de Busseti, Ryu e Boyd apresenta esse objetivo nas seções 2.1 e 2.2. Sua análise de repetição usa retornos independentes e com a mesma distribuição. Isso é hipótese do modelo, não uma descrição automática de operações reais.

Se W é o capital antes da operação, as duas riquezas são:

• Vitória: W × (1 + b × f).
• Derrota: W × (1 − f).

Assim, usando ln para o logaritmo natural:

g(f) = p × ln(1 + b × f) + (1 − p) × ln(1 − f)

No exemplo com f = 0,20, isso resulta em 0,60 × ln(1,20) + 0,40 × ln(0,80) = 0,0201355136. Não se trata de um retorno percentual garantido.

Para conferir de onde vem a fórmula, a derivada é p × b / (1 + b × f) − (1 − p) / (1 − f). Igualá-la a zero fornece [b × p − (1 − p)] / b. A segunda derivada é negativa nesse domínio; portanto, o ponto interior é um máximo. Se não houver vantagem positiva, manter o capital em caixa é a solução permitida.

Como preço, pagamento e custos entram na fórmula

Preço não é probabilidade. Para derivar a conta de um contrato binário, defina:

• c: preço de compra por contrato.
• t: custo adicional fixo por contrato, cobrado igualmente nos dois resultados.
• a = c + t: desembolso total por contrato.
• R: pagamento bruto por contrato vencedor; no resultado perdedor, o pagamento é zero.

Todos esses valores monetários usam a mesma unidade. O múltiplo bruto é P = R / a. Já o lucro líquido por unidade arriscada é b = (R − a) / a = P − 1. Confundir P com b muda a resposta.

Com N = f × W / a contratos, o caixa restante é W − N × a. Se vencer, ele recebe N × R; se perder, recebe zero. Essas duas riquezas reproduzem os estados usados acima.

Substituindo b, obtemos, para 0 < a < R:

f* = max(0, [p × R − a] / [R − a])

Se a ≥ R, não existe vantagem positiva nesse modelo, mesmo com p ≤ 1. Taxas por resultado, custos que variam com a quantidade e outros pagamentos exigem reconstruir os estados. Não transporte esta fórmula para uma ação que perde apenas parte do valor alocado.

Um custo de 0,02 muda o tamanho calculado

Mantenha as premissas do exemplo e acrescente apenas 0,02 u. por contrato. Agora a = 0,52 e R = 1:

f* = (0,60 − 0,52) / (1 − 0,52) = 1/6 ≈ 16,67%.

O desembolso passa a cerca de 166,6667 u., que compram 320,5128205 contratos. O caixa fica em 833,3333333 u. A riqueza final será aproximadamente:

• 1.153,8461538 u. se SIM;
• 833,3333333 u. se NÃO.

As casas decimais mostram a conta com contratos divisíveis. Se houver lotes inteiros ou arredondamento, recalcule quantidade, custo e riquezas. Se o preço efetivo já incorporar um custo, não o conte duas vezes.

E se a probabilidade estiver errada?

Volte ao caso sem custos adicionais. Mantenha a posição de 20%, calculada com p estimado em 60%. Agora altere somente a chance verdadeira em cenários hipotéticos:

Se a chance fosse 55%, a fração ótima do modelo seria 10%, não 20%. Com 52%, seria 4%. Manter a posição calculada a partir de uma estimativa maior pode inverter o sinal de g.

No cenário de 52%, o lucro esperado da posição de 20% ainda é +8 u., embora g seja negativo. Nem mesmo reduzir a posição para 10% torna g positivo nesse caso.

O preço de 0,50 não prova chance verdadeira de 50%, 60% ou qualquer outro valor. A fórmula recebe uma probabilidade; ela não valida essa estimativa.

Kelly fracionado reduz exposição, não corrige o modelo

Kelly fracionado usa apenas uma parte da fração calculada. Meio Kelly, por exemplo, multiplica f* por 0,5. Se o cálculo indicar 20%, a exposição passa a 10%. Isso mantém mais caixa, mas não corrige uma chance superestimada, como mostra a tabela.

Considere três perdas seguidas, sem mudar as demais premissas. Rebalanceando a posição sobre o saldo atual:

• Com 20%: 1.000 × 0,80³ = 512 u. Perda acumulada de 48,8%.
• Com 10%: 1.000 × 0,90³ = 729 u. Perda acumulada de 27,1%.

Não estamos atribuindo uma probabilidade a essa sequência. Também não são três desembolsos fixos de 200 u.: a base diminui após cada perda.

A seção 3.1 do estudo citado discute perdas substanciais com Kelly. Sua definição de drawdown mede queda desde a riqueza inicial. Isso difere da medida de queda a partir de um pico anterior. Aqui, os percentuais da sequência usam as 1.000 u. iniciais como base.

Limites antes de interpretar o tamanho de posição

A fórmula responde a uma pergunta matemática sob premissas específicas. Antes de usar seu resultado como referência, confira:

1. Probabilidade: qual evidência sustenta p e o que mudaria sua estimativa?
2. Pagamentos e perda: os estados realmente correspondem à perda integral da parcela arriscada?
3. Execução e custos: toda a quantidade cabe no preço usado? Há taxas, lotes ou custos não incluídos?
4. Posições simultâneas: os resultados dependem dos mesmos eventos ou fatores? Somar frações calculadas isoladamente não produz uma carteira ótima.
5. Orçamento e prazo: quanto capital fica comprometido e qual perda cabe nos seus limites?

Para posições ligadas entre si, diversificar posições exige examinar os resultados conjuntos, não apenas contar contratos. Já o tamanho de posição por orçamento responde quanto cabe nos limites de capital; essa pergunta é diferente de maximizar g.

Mesmo que uma fração menor que 100% não zere o saldo em rodadas finitas desse modelo contínuo, isso não protege contra ruína prática. Perdas grandes, falta de liquidez e falhas de execução, custódia ou resolução continuam fora dessa garantia matemática.

Kelly não fornece um percentual universal. Seu valor educativo está em mostrar como chance, custo e perda se relacionam, e em revelar quando uma posição é grande demais até para o próprio modelo.

Imagem de capa ilustrativa gerada por IA. Capital ilustrativo separado entre reserva e parcela exposta, sem representar uma alocação real.