Eventos independentes: quando multiplicar probabilidades (e quando não)

Suponha dois eventos hipotéticos avaliados em mercados de previsão: um banco central hipotético sobe os juros em 0,25 pp, e um índice hipotético de câmbio deprecia 5% no mesmo período. Qual a probabilidade dos dois ocorrerem juntos? Para multiplicar as probabilidades, você precisa responder uma pergunta antes: esses eventos são independentes?

A resposta errada sai cara.

O que são eventos independentes

Definição formal

Dois eventos A e B são independentes se:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Essa definição vale para quaisquer P(A), P(B) ∈ [0, 1], incluindo os casos extremos em que P(A) = 0 ou P(B) = 1.

Uma condição equivalente, válida quando P(B) > 0:

P(A | B) = P(A)

Saber que B ocorreu não altera a probabilidade de A. Simetricamente, quando P(A) > 0:

P(B | A) = P(B)

As três condições são equivalentes entre si quando P(A) > 0 e P(B) > 0.

Fonte: IME-USP - Capítulo 2.2: Independência, Prof. Leonardo Rolla.

Como verificar independência na prática

Em um modelo matemático definido (ex.: dois lançamentos de moeda honesta matematicamente especificados), a independência decorre da estrutura do modelo e pode ser demonstrada exatamente: P(cara em L1) · P(cara em L2) = 1/4 = P(cara em L1 ∩ cara em L2), conforme o modelo.

Em dados empíricos, calcule P(A), P(B) e P(A ∩ B) separadamente e compare P(A ∩ B) com P(A) · P(B). Se forem iguais na amostra, isso é evidência favorável à hipótese de independência, mas não prova independência na população. A igualdade amostral está sujeita a variação estatística e ao tamanho da amostra.

A regra geral da multiplicação

A fórmula que sempre vale, com ou sem independência, quando P(A) > 0:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)

Quando P(A) = 0: P(A ∩ B) = 0 por inclusão, A ∩ B ⊆ A, portanto P(A ∩ B) ≤ P(A) = 0. Nesse caso, P(B | A) não está definido pela fórmula do quociente.

A simplificação para P(A) · P(B) acontece somente quando P(B | A) = P(B), ou seja, quando os eventos são independentes.

Fonte: IME-USP - Capítulo 2.1: Probabilidade Condicional, Prof. Leonardo Rolla.

Exemplo: urna sem reposição (hipotético)

Premissa: urna hipotética com 5 bolas vermelhas e 5 azuis, 10 no total. Retirada sem reposição.

• P(1ª retirada vermelha) = 5/10 = 0,500 [hipotético]
• P(2ª vermelha | 1ª foi vermelha) = 4/9 ≈ 0,444 [hipotético]
• P(A ∩ B) = (5/10) · (4/9) = 20/90 = 2/9 ≈ 0,222 [hipotético]

Se você assumir independência erroneamente e usar P(2ª vermelha) = 5/10:

• P_errada(A ∩ B) = 0,500 · 0,500 = 0,250 [hipotético]
• Erro absoluto: 0,250 − 2/9 = 1/36 ≈ 2,78 pp
• Erro relativo sobre o valor correto: 1/8 = 12,5%

Um erro de 12,5% que começa com a suposição errada de independência.

Independentes ≠ mutuamente exclusivos

A distinção é importante: independência e exclusão mútua são conceitos diferentes com consequências opostas para o cálculo.

Mutuamente exclusivos: A ∩ B = ∅ → P(A ∩ B) = 0. Os dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo.

Se P(A) > 0 e P(B) > 0, eventos mutuamente exclusivos são necessariamente dependentes:

• P(A ∩ B) = 0
• P(A) · P(B) > 0
• Portanto: P(A ∩ B) ≠ P(A) · P(B) → dependentes
• Intuição: se B ocorreu, você sabe com certeza que A não ocorreu → P(A | B) = 0 ≠ P(A)

Exemplo hipotético: em um torneio hipotético com dois candidatos, A e B, apenas um pode vencer. "A vence" e "B vence" são mutuamente exclusivos, e portanto dependentes. P(A vence | B vence) = 0 ≠ P(A vence).

Árvore de probabilidade, exemplo esportivo hipotético

Todos os valores abaixo são hipotéticos para fins didáticos. Nenhuma probabilidade atual de time, atleta ou mercado real.

Caso A, eventos independentes (hipotético)

Premissa: dois jogos distintos em torneios diferentes, sem fatores comuns observados. Hipótese de independência adotada explicitamente para fins didáticos.

• P(X vence Jogo 1) = 0,60 [hipotético]
• P(W vence Jogo 2) = 0,45 [hipotético]
• P(X e W vencem) = 0,60 · 0,45 = 0,27 [hipotético, sob hipótese de independência]

Diagrama: as probabilidades do Jogo 2 são iguais em ambos os ramos do Jogo 1, o que é a marca da independência.

Jogo 1 Jogo 2 P(ramo)
X vence ──────────── W vence ──────────── 0,60 × 0,45 = 0,270
(0,60) │ (0,45)
 │
 └──────────── W não vence ──────── 0,60 × 0,55 = 0,330
 (0,55)

X não ─────────── W vence ──────────── 0,40 × 0,45 = 0,180
vence │ (0,45)
(0,40) │
 └──────────── W não vence ──────── 0,40 × 0,55 = 0,220
 (0,55)
 Soma: 1,000

Independência: P(W vence Jogo 2) = 0,45 nos dois ramos, o resultado do Jogo 1 não altera a probabilidade do Jogo 2.

Caso B, eventos aninhados e dependentes (hipotético)

Premissa: B ⊂ A, se B ocorre, A necessariamente ocorreu.

• A = "favorito hipotético avança da fase de grupos", P(A) = 0,70 [hipotético]
• B = "favorito avança das oitavas de final", B implica A; só há oitavas para quem passou dos grupos

Como B ⊂ A:

• P(B | A) = 0,65 [hipotético]
• P(B | Aᶜ) = 0, impossível sem passar dos grupos
• P(A ∩ B) = P(B) = P(A) · P(B | A) = 0,70 · 0,65 = 0,455 [hipotético]

Tabela dos 4 estados [hipotético, soma = 1,000]:

Verificação: 0,70 · 0,65 = 0,455; 0,70 − 0,455 = 0,245; 1 − 0,70 = 0,30; soma = 1,000 ✓

Se erroneamente assumir independência com P(A) = 0,70 e P(B) = 0,455:

• P_errada(A ∩ B) = 0,70 · 0,455 = 0,3185 [hipotético]
• Verdadeiro: P(A ∩ B) = 0,455
• Erro absoluto: ≈ 13,65 pp; erro relativo: ≈ 30%

Um erro de 30% causado por ignorar a relação de aninhamento entre os eventos.

Dependência oculta em mercados de previsão

Ao combinar posições em dois mercados de previsão distintos, usar P(A ∩ B) = P(A) · P(B) pressupõe independência. Quando os eventos compartilham fatores subjacentes, pode haver dependência, mas compartilhar um fator não garante dependência. A hipótese de independência deve ser declarada explicitamente e, quando possível, confrontada com dados disponíveis, não assumida por default.

Pares com possível dependência [hipotéticos, verificação empírica necessária]:

• "Banco central hipotético eleva juros em X" e "câmbio se deprecia em Y%", ambos podem ser sensíveis ao mesmo cenário macroeconômico. Assumir independência sem verificar é um erro de modelagem.

Pares onde a hipótese de independência é plausível, mas ainda assim requer verificação [hipotéticos]:

• Resultado de um jogo esportivo hipotético em uma competição e resultado de um jogo hipotético em outra competição distinta, sem sobreposição de atletas nem contexto compartilhado. A ausência de fator aparente não comprova independência, trate como hipótese explícita, não como fato estabelecido.

Correlação e independência

Para indicadores de eventos com 0 < P(A) < 1 e 0 < P(B) < 1 (variâncias positivas):

Cov(1_A, 1_B) = P(A ∩ B) − P(A) · P(B)

Portanto: correlação zero ↔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ↔ independência, mas apenas para variáveis de Bernoulli com variâncias positivas. Para variáveis contínuas gerais, correlação zero não implica independência.

Medir correlação zero em dados amostrais não prova independência na população.

Correlação não é causalidade. Dois eventos correlacionados podem ter um fator causal comum sem que um cause o outro diretamente.

Quando multiplicar e quando não

Multiplicar probabilidades diretamente é correto quando a igualdade P(A ∩ B) = P(A) · P(B) é válida no modelo, seja porque a estrutura do espaço de probabilidade a estabelece (como em modelos matemáticos de sorteios definidos), seja porque é adotada como hipótese explícita reconhecida como tal. Em contextos empíricos, independência é sempre uma hipótese de trabalho: pode ser confrontada com dados, mas não provada definitivamente por eles. O erro está em assumir independência tacitamente, sem declará-la como hipótese. Esse cuidado é fundamental para estimar o valor esperado de posições combinadas em mercados de previsão.

Limite educativo: os cálculos deste artigo são exercícios matemáticos sob hipóteses declaradas. Probabilidade conjunta calculada a partir de premissas hipotéticas não constitui cotação executável, produto disponível ou garantia de retorno em qualquer mercado. Mercados de previsão envolvem risco real; consulte as regras da plataforma antes de operar.